3.829 \(\int \frac{(d \csc (e+f x))^n}{(a+b \sin (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=321 \[ -\frac{b^2 \sin ^3(e+f x) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{n-1}{2}} (d \csc (e+f x))^{n+2} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{n-1}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{d^2 f \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{a^2 \sin (e+f x) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{n+1}{2}} (d \csc (e+f x))^{n+2} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{n+1}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{d^2 f \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac{2 a b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{n+2}{2}} (d \csc (e+f x))^{n+2} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{n}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{d^2 f \left (a^2-b^2\right )^2} \]

[Out]

-((b^2*AppellF1[1/2, (-1 + n)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*
Csc[e + f*x])^(2 + n)*Sin[e + f*x]^3*(Sin[e + f*x]^2)^((-1 + n)/2))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f)) - (a^2*AppellF1[1/2
, (1 + n)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n
)*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 + n)/2))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f) + (2*a*b*AppellF1[1/2, n/2, 2, 3/2, Cos[e +
f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n)*(Sin[e + f*x]^2)^((2 + n)/
2))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.543721, antiderivative size = 321, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 5, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.217, Rules used = {3238, 3869, 2824, 3189, 429} \[ -\frac{b^2 \sin ^3(e+f x) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{n-1}{2}} (d \csc (e+f x))^{n+2} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{n-1}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{d^2 f \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac{a^2 \sin (e+f x) \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{n+1}{2}} (d \csc (e+f x))^{n+2} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{n+1}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{d^2 f \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac{2 a b \cos (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{n+2}{2}} (d \csc (e+f x))^{n+2} F_1\left (\frac{1}{2};\frac{n}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right )}{d^2 f \left (a^2-b^2\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d*Csc[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x])^2,x]

[Out]

-((b^2*AppellF1[1/2, (-1 + n)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*
Csc[e + f*x])^(2 + n)*Sin[e + f*x]^3*(Sin[e + f*x]^2)^((-1 + n)/2))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f)) - (a^2*AppellF1[1/2
, (1 + n)/2, 2, 3/2, Cos[e + f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n
)*Sin[e + f*x]*(Sin[e + f*x]^2)^((1 + n)/2))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f) + (2*a*b*AppellF1[1/2, n/2, 2, 3/2, Cos[e +
f*x]^2, -((b^2*Cos[e + f*x]^2)/(a^2 - b^2))]*Cos[e + f*x]*(d*Csc[e + f*x])^(2 + n)*(Sin[e + f*x]^2)^((2 + n)/
2))/((a^2 - b^2)^2*d^2*f)

Rule 3238

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.))^(p_.), x_Symbol] :> Dist
[d^(n*p), Int[(d*Csc[e + f*x])^(m - n*p)*(b + a*Csc[e + f*x]^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n, p}, x
] &&  !IntegerQ[m] && IntegersQ[n, p]

Rule 3869

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Dist[Sin[
e + f*x]^n*(d*Csc[e + f*x])^n, Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f
, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m]

Rule 2824

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.), x_Symbol] :> Int[Expan
dTrig[(d*sin[e + f*x])^n/((a - b*sin[e + f*x])^m/(a^2 - b^2*sin[e + f*x]^2)^m), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f
, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, -1]

Rule 3189

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[(ff*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*(d*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1)/
2]))/(f*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]), Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x]
, x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(d \csc (e+f x))^n}{(a+b \sin (e+f x))^2} \, dx &=\frac{\int \frac{(d \csc (e+f x))^{2+n}}{(b+a \csc (e+f x))^2} \, dx}{d^2}\\ &=\frac{\left ((d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^{2+n}(e+f x)\right ) \int \frac{\sin ^{-n}(e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^2} \, dx}{d^2}\\ &=\frac{\left ((d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^{2+n}(e+f x)\right ) \int \left (-\frac{2 a b \sin ^{1-n}(e+f x)}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}+\frac{a^2 \sin ^{-n}(e+f x)}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}+\frac{b^2 \sin ^{2-n}(e+f x)}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2}\right ) \, dx}{d^2}\\ &=\frac{\left (a^2 (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^{2+n}(e+f x)\right ) \int \frac{\sin ^{-n}(e+f x)}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx}{d^2}-\frac{\left (2 a b (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^{2+n}(e+f x)\right ) \int \frac{\sin ^{1-n}(e+f x)}{\left (a^2-b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx}{d^2}+\frac{\left (b^2 (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^{2+n}(e+f x)\right ) \int \frac{\sin ^{2-n}(e+f x)}{\left (-a^2+b^2 \sin ^2(e+f x)\right )^2} \, dx}{d^2}\\ &=-\frac{\left (b^2 (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^{2+2 \left (\frac{1}{2}-\frac{n}{2}\right )+n}(e+f x) \sin ^2(e+f x)^{-\frac{1}{2}+\frac{n}{2}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{1-n}{2}}}{\left (-a^2+b^2-b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{d^2 f}-\frac{\left (a^2 (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^{2+2 \left (-\frac{1}{2}-\frac{n}{2}\right )+n}(e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2}+\frac{n}{2}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{\frac{1}{2} (-1-n)}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{d^2 f}+\frac{\left (2 a b (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^2(e+f x)^{1+\frac{n}{2}}\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\left (1-x^2\right )^{-n/2}}{\left (a^2-b^2+b^2 x^2\right )^2} \, dx,x,\cos (e+f x)\right )}{d^2 f}\\ &=-\frac{b^2 F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{2} (-1+n),2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^3(e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1}{2} (-1+n)}}{\left (a^2-b^2\right )^2 d^2 f}-\frac{a^2 F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1+n}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin (e+f x) \sin ^2(e+f x)^{\frac{1+n}{2}}}{\left (a^2-b^2\right )^2 d^2 f}+\frac{2 a b F_1\left (\frac{1}{2};\frac{n}{2},2;\frac{3}{2};\cos ^2(e+f x),-\frac{b^2 \cos ^2(e+f x)}{a^2-b^2}\right ) \cos (e+f x) (d \csc (e+f x))^{2+n} \sin ^2(e+f x)^{\frac{2+n}{2}}}{\left (a^2-b^2\right )^2 d^2 f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 19.0735, size = 1938, normalized size = 6.04 \[ \text{result too large to display} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(d*Csc[e + f*x])^n/(a + b*Sin[e + f*x])^2,x]

[Out]

((d*Csc[e + f*x])^n*(Cot[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^n*Tan[e + f*x]*(-(a*(a^2 + b^2)*(-2 + n)*AppellF1[(1 -
n)/2, -n/2, 1, (3 - n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]) + 2*b*(a*b*(-2 + n)*AppellF1[(
1 - n)/2, -n/2, 2, (3 - n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] + (a^2 - b^2)*(-1 + n)*Appel
lF1[1 - n/2, (-1 - n)/2, 2, 2 - n/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x])))/(a^3*
(a^2 - b^2)*f*(-2 + n)*(-1 + n)*(Sec[e + f*x]^2)^(n/2)*(a + b*Sin[e + f*x])^2*(((Sec[e + f*x]^2)^(1 - n/2)*(Co
t[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^n*(-(a*(a^2 + b^2)*(-2 + n)*AppellF1[(1 - n)/2, -n/2, 1, (3 - n)/2, -Tan[e +
f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]) + 2*b*(a*b*(-2 + n)*AppellF1[(1 - n)/2, -n/2, 2, (3 - n)/2, -Tan[e
+ f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] + (a^2 - b^2)*(-1 + n)*AppellF1[1 - n/2, (-1 - n)/2, 2, 2 - n/2,
-Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x])))/(a^3*(a^2 - b^2)*(-2 + n)*(-1 + n)) + (n*
(Cot[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^(-1 + n)*(Sqrt[Sec[e + f*x]^2] - Csc[e + f*x]^2*Sqrt[Sec[e + f*x]^2])*Tan[
e + f*x]*(-(a*(a^2 + b^2)*(-2 + n)*AppellF1[(1 - n)/2, -n/2, 1, (3 - n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[
e + f*x]^2)/a^2]) + 2*b*(a*b*(-2 + n)*AppellF1[(1 - n)/2, -n/2, 2, (3 - n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*T
an[e + f*x]^2)/a^2] + (a^2 - b^2)*(-1 + n)*AppellF1[1 - n/2, (-1 - n)/2, 2, 2 - n/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 +
b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x])))/(a^3*(a^2 - b^2)*(-2 + n)*(-1 + n)*(Sec[e + f*x]^2)^(n/2)) - (n*(Co
t[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^n*Tan[e + f*x]^2*(-(a*(a^2 + b^2)*(-2 + n)*AppellF1[(1 - n)/2, -n/2, 1, (3 -
n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]) + 2*b*(a*b*(-2 + n)*AppellF1[(1 - n)/2, -n/2, 2, (3
- n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2] + (a^2 - b^2)*(-1 + n)*AppellF1[1 - n/2, (-1 - n)
/2, 2, 2 - n/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Tan[e + f*x])))/(a^3*(a^2 - b^2)*(-2 + n)*
(-1 + n)*(Sec[e + f*x]^2)^(n/2)) + ((Cot[e + f*x]*Sqrt[Sec[e + f*x]^2])^n*Tan[e + f*x]*(-(a*(a^2 + b^2)*(-2 +
n)*(((1 - n)*n*AppellF1[1 + (1 - n)/2, 1 - n/2, 1, 1 + (3 - n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^
2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 - n) + (2*(-a^2 + b^2)*(1 - n)*AppellF1[1 + (1 - n)/2, -n/2, 2, 1 + (3
- n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a^2*(3 - n)))) + 2*
b*((a^2 - b^2)*(-1 + n)*AppellF1[1 - n/2, (-1 - n)/2, 2, 2 - n/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^
2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2 + a*b*(-2 + n)*(((1 - n)*n*AppellF1[1 + (1 - n)/2, 1 - n/2, 2, 1 + (3 - n)/2, -Tan[e +
f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3 - n) + (4*(-a^2 + b^2)*(1 - n)*Appe
llF1[1 + (1 - n)/2, -n/2, 3, 1 + (3 - n)/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2
*Tan[e + f*x])/(a^2*(3 - n))) + (a^2 - b^2)*(-1 + n)*Tan[e + f*x]*(-(((-1 - n)*(1 - n/2)*AppellF1[2 - n/2, 1 +
(-1 - n)/2, 2, 3 - n/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(2 -
n/2)) + (4*(-a^2 + b^2)*(1 - n/2)*AppellF1[2 - n/2, (-1 - n)/2, 3, 3 - n/2, -Tan[e + f*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Ta
n[e + f*x]^2)/a^2]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(a^2*(2 - n/2))))))/(a^3*(a^2 - b^2)*(-2 + n)*(-1 + n)*(Sec[e
+ f*x]^2)^(n/2))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.859, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( d\csc \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n}}{ \left ( a+b\sin \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*csc(f*x+e))^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x)

[Out]

int((d*csc(f*x+e))^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \csc \left (f x + e\right )\right )^{n}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*csc(f*x+e))^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*csc(f*x + e))^n/(b*sin(f*x + e) + a)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-\frac{\left (d \csc \left (f x + e\right )\right )^{n}}{b^{2} \cos \left (f x + e\right )^{2} - 2 \, a b \sin \left (f x + e\right ) - a^{2} - b^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*csc(f*x+e))^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-(d*csc(f*x + e))^n/(b^2*cos(f*x + e)^2 - 2*a*b*sin(f*x + e) - a^2 - b^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \csc{\left (e + f x \right )}\right )^{n}}{\left (a + b \sin{\left (e + f x \right )}\right )^{2}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*csc(f*x+e))**n/(a+b*sin(f*x+e))**2,x)

[Out]

Integral((d*csc(e + f*x))**n/(a + b*sin(e + f*x))**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \csc \left (f x + e\right )\right )^{n}}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*csc(f*x+e))^n/(a+b*sin(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*csc(f*x + e))^n/(b*sin(f*x + e) + a)^2, x)